而有

 2ｘ＋ｙ＝1，
 
3ｘ－ｙ＝1．
 

　　解之得　ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．
　　∴　ａn＋ｂn＝（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn），
　　∴　 （ａn＋ｂn）＝ ［（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）］＝（2／5） （2ａn＋3ｂn）＋（1／5） （ａn－ｂn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．
　　这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．（引文完）
　　3.江苏省常州高级中学（是一所有90年历史的江南名校）数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析（高中）》，其第6章题30如下（见文［7］Ｐ．342，本文记为例3）：
　　例3　已知 （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，求 （2ａn＋ｂn）之值．
　　误解：∵ （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，
　　

∴
 
 2 ａn＋3 ｂn＝7，　　　①
 
3 ａn－2 ｂn＝4．　　　②
 

　　①×2＋②×3，得
　　13 ａn＝26，
　　∴ ａn＝2．
　　代入式①，得
　　 ｂn＝1．
　　∴　 （2ａn＋ｂn）＝2 ａn＋ ｂn＝2×2＋1＝5．
　　正确解法：设ｍ（2ａn＋3ｂn）＋ｐ（3ａn－2ｂn）＝ｋ（2ａn＋ｂn）．
　　其中ｍ，ｐ，ｋ均为待定的整数，则比较ａn，ｂn的系数得

 2ｍ＋3ｐ＝2ｋ，　　①
 
3ｍ－2ｐ＝ｋ．　　　　②
 

　　由式①、②消去ｋ，得
　　2ｍ＋3ｐ＝2（3ｍ－2ｐ）＝6ｍ－4ｐ，
　　∴　　4ｍ＝7ｐ．
　　当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13．
　　∴　2ａn＋ｂn＝（7／13）（2ａn＋3ｂn）＋（4／13）（3ａn－2ｂn）．
　　∴　 （2ａn＋ｂn）＝（7／13） （2ａn＋3ｂn）＋（4／13） （3ａn－2ｂn）＝7／13×7＋4／13×4＝5．
　　错因分析与解题指导：已知 （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，并不意味着 ａn、 ｂn存在，在误解中利用数列极限的运算法则： （ａn±ｂn）＝ ａn± ｂn，默认 ａn与 ｂn存在，这是错误的．要求 （2ａn＋ｂn），就必须将2ａn＋ｂn去用（2ａn＋3ｂn）与（3ａn－2ｂn）表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完）
　　以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师（包括评委）的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．
　　虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不能判断 ａn和 ｂn是否存在吗?”回答是否定的．教师的“纠错”比学生错得更多．
　　二、案例分析
　　我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．
　　1.学生解法的认识
　　学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．
　　缺点是默认了 ａn与 ｂn的存在；也不会整体使用极限运算法则，这可以从3个方面来分析．
　　（1）知识性错误
　　表现在：没有验证ａn与ｂn极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了ａn与ｂn极限的存在性；还不会变通使用（如借用待定系数法）极限运算法则．
　　（2）逻辑性错误
　　表现为逻辑上的“不能推出”：跳过ａn与ｂn极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到．
　　（3）心理性错误