例2　用数学归纳法证明

ｆ（ｎ）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2ｎ－1）＜2．
 

　　讲解：当ｎ＝1时，命题显然成立．
　　现假设ｆ（ｋ）＜2，则
　　ｆ（ｋ＋1）＝ｆ（ｋ）＋（1／2ｋ）＜2＋（1／2ｋ），
由于2＋（1／2ｋ）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功．
　　然而，这仅是“方法使用不当”．换一种递推方式，证明并不困难．
　　ｆ（ｋ＋1）＝1＋（1／2）ｆ（ｋ）＜1＋（1／2）×2＝2．
　　下面一个反例直接取自文［4］的例2．
　　例3　求证（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3！）＋…＋（1／ｎ！）＜2．
　　证明：当ｎ＝1时，命题显然成立．
　　假设ｎ＝ｋ时命题成立，则
　　（1／1！）＋（1／2！）＋…＋（1／ｋ！）＋［1／（ｋ＋1）！］
　＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／ｋ）·［1／（ｋ－1）！］＋［1／（ｋ＋1）］·（1／ｋ！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（ｋ－1）！］＋（1／ｋ！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．
　　这表明ｎ＝ｋ＋1时命题成立．
　　由数学归纳法知，不等式已获证．
　　3．个案3—对尚未成功的环节继续反思
　　文［7］有很好的立意也有很好的标题，叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”，它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程：
　　例4　二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点（－1，0），是否存在常数ａ、ｂ、ｃ使不等式

ｘ≤ｆ（ｘ）≤（ｘ2＋1）／2
 ①
 

对一切实数ｘ都成立？若存在，求出ａ、ｂ、ｃ；若不存在，说明理由．
　　讲解：作者从解两个二次不等式

 （ｘ2＋1）／2－ｆ（ｘ）≥0，
 
ｆ（ｘ）－ｘ≥0．
 

开始（解法1），经过数形结合的思考（解法2）等过程，最后“经学生相互讨论后得到巧解”（解法4）：由基本不等式

（ｘ2＋1）／2≥（ｘ＋1）／22≥ｘ
 ②
 

对一切实数ｘ都成立，猜想

ｆ（ｘ）＝（ｘ＋1）／22．
 ③
 

　　经检验，ｆ（ｘ）满足条件ｆ（－1）＝0，所以ｆ（ｘ）存在，ａ＝（1／4），ｂ＝（1／2），ｃ＝（1／4）．
　　我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出ａ、ｂ、ｃ”应该理解为“若存在，求出一切ａ、ｂ、ｃ”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的逻辑疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在ｘ与（ｘ2＋1）／2之间的二次函数很多，如
　　ｆ1（ｘ）＝（1／2）ｘ＋（1／2）（ｘ2＋1）／2，
　　ｆ2（ｘ）＝（1／3）ｘ＋（2／3）（ｘ2＋1）／2，
　　ｆ3（ｘ）＝（1／4）ｘ＋（3／4）（ｘ2＋1）／2，
　　……
　　这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了ｆ1（ｘ）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？
　　也就是说，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”．究其原因，是未找出ｘ与（ｘ2＋1／2）之间的所有的二次函数．抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，①式可以改写为

ｆ（ｘ）＝｛［（ｘ2＋1）／2］＋λｘ｝／（1＋λ）（λ＞0），
 ④
 

或　ｆ（ｘ）＝λ（ｘ2＋1）／2＋（1－λ）ｘ（0＜λ＜1）．　⑤
一般情况下λ应是ｘ的正值函数（文［8］默认λ为常数是不完善的；同样，2000年高考理科第20题（2），对ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ设

 ａｎ＝ｃｎｃｏｓ2θ，
 
ｂｎ＝ｃｎｓｉｎ2θ
 

是错误的），但由于ｆ（ｘ）为二次函数，λ只能为常数．为了在④